Monte-Carlo-Integration

Die Monte-Carlo-Integration (MCI) zur Berechnung bestimmter Integrale beruht, wie alle Monte-Carlo-Techniken, auf der Erzeugung von Zufallszahlen. MCI ist hilfreich, wenn die Ermittlung des Integrals auf die herkömmliche Weise aufwendig ist, wie z.B. bei Mehrfachintegralen oder wenn der Integrationsbereich viele Nullstellen aufweist.

 

Die hier vorgestellte Anwendung soll lediglich das Prinzip der MCI näher bringen. Die Ermittlung von Mehrfachintegralen ist damit nicht möglich. Auch Integrale von Funktionen, die im Integrationsbereich Flächen unter der x-Achse besitzen, sind ausgeschlossen.

 

Es gibt zwei Grundmethoden der MCI. Davon ist eine, die "Hit-or-Miss-Methode", sehr eingängig. Sie wird deshalb hier verwendet.

 

Bekanntlich entspricht das bestimmte Integral der Fläche, welche im Integrationsbereich zwischen der Kurve der zu integrierenden Funktion und der x-Achse liegt. Das Prinzip der MCI ist einfach: Es wird ein Vergleichsrechteck konstruiert, das die Integrationsfläche vollständig einschließt. Dann werden (sehr) viele Zufallspunkte im Vergleichsrechteck generiert. Man merkt sich, welcher Anteil der Punkte auf oder unter der Funktionskurve landen. Das bestimmte Integral ergibt sich dann aus dem Anteil dieser Punkte an der Gesamtpunktzahl, multipliziert mit der Fläche des Vergleichsrechtecks.

 

Das folgende Bild veranschaulicht dieses Prinzip:

 

Bevor man das Vergleichsrechteck bestimmen kann, muss man zunächst das lokale Maximum der Kurve im Integrationsbereich ermitteln. Dies geschieht in unserer Anwendung durch Anlegen einer kleinen Wertetabelle für die Funktion im Integrationsbereich. Man muss nur aufpassen, die Schrittweite nicht zu groß zu nehmen, denn sonst könnte man ein lokales Maximum "verpassen". Zum ermittelten maximalen y schlägt man dann noch einen kleinen Sicherheitsabstand dazu.

 

Die generierten Funktionswerte können auch für das Zeichnen des Diagramms verwendet werden. Das Diagramm ist zwar für die Errechnung des Integrals nicht nötig, gibt aber dem Benutzer mehr Sicherheit im Umgang mit der Anwendung.

 

Das folgende Bild zeigt den Bereich des Tabellenblatts, in dem der Benutzer seine Eingaben macht. Diese sind, unter den gesetzten Einschränkungen (nur Funktionen mit einer unabhängigen Variablen, keine Mehrfachintegrale) sehr überschaubar.

Das Ergebnis wird dem Benutzer in einem gesonderten Informationsbereich unterhalb des Eingabebereichs präsentiert, zusammen einigen wichtigen Zwischenergebnissen, wie den lokalen Extremwerten und der Fläche des Vergleichsrechtecks:

 

Monte-Carlo-Integration
Diese Excel2007-Anwendung ermittelt bestimmte Integrale von Funktionen einer unabhängigen Variablen. Einschränkung: keine Funktionswerte unterhalb der x-Achse im Integrationsbereich.
MCIntegration4.zip
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